Au XVIIe siècle, Evangelista Torricelli étudie une forme de trompette qui s'étire à l'infini en s'affinant. Stupeur : son volume intérieur est fini, alors que sa surface est infinie. On pourrait donc la remplir avec un pot de peinture… sans jamais réussir à en peindre la paroi. Le paradoxe s'évapore quand on se souvient qu'une vraie couche de peinture a une épaisseur.
Combien de constructions différentes peut-on faire avec six briques Lego classiques de 2 sur 4, de même couleur ? Le fabricant avançait autrefois un peu plus de 102 millions. En 2005, le mathématicien danois Søren Eilers a tout recompté par ordinateur : 915 103 765 assemblages. L'estimation officielle était donc trop faible d'un facteur neuf environ.
Pliez une feuille A4 en deux : vous obtenez une A5, aux mêmes proportions. Ce n'est possible que pour un seul rapport entre longueur et largeur, environ 1,414, la racine carrée de 2. Le format A0 mesure exactement un mètre carré, et l'A4 en est le seizième. Avec un papier standard de 80 grammes par mètre carré, une feuille A4 pèse donc 5 grammes pile.