En 1924, Stefan Banach et Alfred Tarski démontrent qu'une boule pleine peut être découpée en un nombre fini de morceaux, cinq suffisent, puis réassemblée par simples déplacements en deux boules identiques à l'originale. Pas de magie : le résultat repose sur un axiome discuté, l'axiome du choix, et ces « morceaux » sont des nuages de points si étranges qu'on ne peut leur attribuer aucun volume. Impossible avec une orange, hélas.
Combien de constructions différentes peut-on faire avec six briques Lego classiques de 2 sur 4, de même couleur ? Le fabricant avançait autrefois un peu plus de 102 millions. En 2005, le mathématicien danois Søren Eilers a tout recompté par ordinateur : 915 103 765 assemblages. L'estimation officielle était donc trop faible d'un facteur neuf environ.
Pliez une feuille A4 en deux : vous obtenez une A5, aux mêmes proportions. Ce n'est possible que pour un seul rapport entre longueur et largeur, environ 1,414, la racine carrée de 2. Le format A0 mesure exactement un mètre carré, et l'A4 en est le seizième. Avec un papier standard de 80 grammes par mètre carré, une feuille A4 pèse donc 5 grammes pile.