Imaginez un promeneur qui choisit chaque pas au hasard sur un quadrillage de rues. En 1921, George Pólya a prouvé qu'il repassera un jour par son point de départ, avec une probabilité de 100 %. Mais dans l'espace, en trois dimensions, la probabilité de retour chute à environ 34 %. D'où la formule du mathématicien Shizuo Kakutani : un homme ivre retrouve toujours sa maison, un oiseau ivre peut se perdre à jamais.
Combien de constructions différentes peut-on faire avec six briques Lego classiques de 2 sur 4, de même couleur ? Le fabricant avançait autrefois un peu plus de 102 millions. En 2005, le mathématicien danois Søren Eilers a tout recompté par ordinateur : 915 103 765 assemblages. L'estimation officielle était donc trop faible d'un facteur neuf environ.
Pliez une feuille A4 en deux : vous obtenez une A5, aux mêmes proportions. Ce n'est possible que pour un seul rapport entre longueur et largeur, environ 1,414, la racine carrée de 2. Le format A0 mesure exactement un mètre carré, et l'A4 en est le seizième. Avec un papier standard de 80 grammes par mètre carré, une feuille A4 pèse donc 5 grammes pile.