Imaginez un hôtel aux chambres infiniment nombreuses, toutes occupées. Si un voyageur arrive, chaque client passe à la chambre suivante et la n° 1 se libère ; si c'est un car entier avec une infinité de passagers, chacun double son numéro de chambre, libérant toutes les chambres impaires. Imaginée par David Hilbert dans les années 1920, cette fable montre que l'infini ne se comporte comme aucun nombre ordinaire.
Combien de constructions différentes peut-on faire avec six briques Lego classiques de 2 sur 4, de même couleur ? Le fabricant avançait autrefois un peu plus de 102 millions. En 2005, le mathématicien danois Søren Eilers a tout recompté par ordinateur : 915 103 765 assemblages. L'estimation officielle était donc trop faible d'un facteur neuf environ.
Pliez une feuille A4 en deux : vous obtenez une A5, aux mêmes proportions. Ce n'est possible que pour un seul rapport entre longueur et largeur, environ 1,414, la racine carrée de 2. Le format A0 mesure exactement un mètre carré, et l'A4 en est le seizième. Avec un papier standard de 80 grammes par mètre carré, une feuille A4 pèse donc 5 grammes pile.