Prenez un nombre entier ; s'il est pair, divisez-le par deux, s'il est impair, triplez-le et ajoutez 1, puis recommencez. Quel que soit le point de départ, on semble toujours finir par tomber sur 1. Vérifiée par ordinateur jusqu'à des centaines de milliards de milliards, la conjecture de Syracuse n'a pourtant jamais été démontrée. Paul Erdős estimait que les mathématiques n'étaient « pas encore prêtes » pour ce genre de problème.
Combien de constructions différentes peut-on faire avec six briques Lego classiques de 2 sur 4, de même couleur ? Le fabricant avançait autrefois un peu plus de 102 millions. En 2005, le mathématicien danois Søren Eilers a tout recompté par ordinateur : 915 103 765 assemblages. L'estimation officielle était donc trop faible d'un facteur neuf environ.
Pliez une feuille A4 en deux : vous obtenez une A5, aux mêmes proportions. Ce n'est possible que pour un seul rapport entre longueur et largeur, environ 1,414, la racine carrée de 2. Le format A0 mesure exactement un mètre carré, et l'A4 en est le seizième. Avec un papier standard de 80 grammes par mètre carré, une feuille A4 pèse donc 5 grammes pile.